integral table

Basic Forms

(1) $\displaystyle \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1},\hspace{1ex}n\neq -1$

(2) $\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln \vert x\vert$

(3) $\displaystyle \int u dv = uv - \int v du$

(4) $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a} \ln \vert ax + b\vert$

Integrals of Rational Functions

(5) $\displaystyle \int \frac{1}{(x+a)^2}dx = -\frac{1}{x+a}$

(6) $\displaystyle \int (x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+c, n\ne -1$

(7) $\displaystyle \int x(x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1} ( (n+1)x-a)}{(n+1)(n+2)}$

(8) $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}dx = \tan^{-1}x$

(9) $\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$

(10) $\displaystyle \int \frac{x}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{2}\ln\vert a^2+x^2\vert$

(11) $\displaystyle \int \frac{x^2}{a^2+x^2}dx = x-a\tan^{-1}\frac{x}{a}$

(12) $\displaystyle \int \frac{x^3}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}a^2\ln\vert a^2+x^2\vert$

(13) $\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx = \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$

(14) $\displaystyle \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln\frac{a+x}{b+x},$ $\displaystyle a\ne b$

(15) $\displaystyle \int \frac{x}{(x+a)^2}dx = \frac{a}{a+x}+\ln \vert a+x\vert$

(16) $\displaystyle \int \frac{x}{ax^2+bx+c}dx = \frac{1}{2a}\ln\vert ax^2+bx+c\vert -\frac{b}{a\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$

Integrals with Roots

(17) $\displaystyle \int \sqrt{x-a} dx = \frac{2}{3}(x-a)^{3/2}$

(18) $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x\pm a}} dx = 2\sqrt{x\pm a}$

(19) $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a-x}} dx = -2\sqrt{a-x}$

(20) $\displaystyle \int x\sqrt{x-a} dx = \left\{ \begin{array}{l} \frac{2 a}{3} \le... ...} (x-a)^{5/2}, \text{ or} \frac{2}{15}(2a+3x)(x-a)^{3/2} \end{array} \right.$

(21) $\displaystyle \int \sqrt{ax+b} dx = \left(\frac{2b}{3a}+\frac{2x}{3}\right)\sqrt{ax+b}$

(22) $\displaystyle \int (ax+b)^{3/2} dx =\frac{2}{5a}(ax+b)^{5/2}$

(23) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x\pm a} } dx = \frac{2}{3}(x\mp 2a)\sqrt{x\pm a}$

(24) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{x}{a-x}} dx = -\sqrt{x(a-x)} -a\tan^{-1}\frac{\sqrt{x(a-x)}}{x-a}$

(25) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{x}{a+x}} dx = \sqrt{x(a+x)} -a\ln \left [ \sqrt{x} + \sqrt{x+a}\right]$

(26) $\displaystyle \int x \sqrt{ax + b} dx = \frac{2}{15 a^2}(-2b^2+abx + 3 a^2 x^2) \sqrt{ax+b}$

(27) $\displaystyle \int \sqrt{x(ax+b)} dx = \frac{1}{4a^{3/2}}\left[(2ax + b)\sqrt{ax(ax+b)} -b^2 \ln \left\vert a\sqrt{x} + \sqrt{a(ax+b)} \right\vert \right ]$

(28) $\displaystyle \int \sqrt{x^3(ax+b)} dx =\left [ \frac{b}{12a}- \frac{b^2}{8a^... ...} + \frac{b^3}{8a^{5/2}}\ln \left \vert a\sqrt{x} + \sqrt{a(ax+b)} \right \vert$

(29) $\displaystyle \int\sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2\pm a^2} \pm\frac{1}{2}a^2 \ln \left \vert x + \sqrt{x^2\pm a^2} \right \vert$

(30) $\displaystyle \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2} x \sqrt{a^2-x^2} +\frac{1}{2}a^2\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

(31) $\displaystyle \int x \sqrt{x^2 \pm a^2} dx= \frac{1}{3}\left ( x^2 \pm a^2 \right)^{3/2}$

(32) $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln \left \vert x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right \vert$

(33) $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\frac{x}{a}$

(34) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2\pm a^2}} dx = \sqrt{x^2 \pm a^2}$

(35) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2}$

(36) $\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 \pm a^2} \mp \frac{1}{2}a^2 \ln \left\vert x + \sqrt{x^2\pm a^2} \right \vert$

(37) $\displaystyle \int \sqrt{a x^2 + b x + c} dx = \frac{b+2ax}{4a}\sqrt{ax^2+bx+c... ...ac{4ac-b^2}{8a^{3/2}}\ln \left\vert 2ax + b + 2\sqrt{a(ax^2+bx^+c)}\right \vert$

(38) \begin{displaymath}\begin{split}\int &x \sqrt{a x^2 + bx + c} dx = \frac{1}{48a... ...2ax + 2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+x} \right\vert \right) \end{split}\end{displaymath}

(39) $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx= \frac{1}{\sqrt{a}}\ln \left\vert 2ax+b + 2 \sqrt{a(ax^2+bx+c)} \right \vert$

(40) $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx= \frac{1}{a}\sqrt{ax^2+bx + c} - \frac{b}{2a^{3/2}}\ln \left\vert 2ax+b + 2 \sqrt{a(ax^2+bx+c)} \right \vert$

(41) $\displaystyle \int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}$

Integrals with Logarithms

(42) $\displaystyle \int \ln ax dx = x \ln ax - x$

(43) $\displaystyle \int x \ln x dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x-\frac{x^2}{4}$

(44) $\displaystyle \int x^2 \ln x dx = \frac{1}{3} x^3 \ln x-\frac{x^3}{9}$

(45) $\displaystyle \int x^n \ln x dx = x^{n+1}\left( \dfrac{\ln x}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right),\hspace{2ex} n\neq -1$

(46) $\displaystyle \int \frac{\ln ax}{x} dx = \frac{1}{2}\left ( \ln ax \right)^2$

(47) $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x}$

(48) $\displaystyle \int \ln (ax + b) dx = \left ( x + \frac{b}{a} \right) \ln (ax+b) - x , a\ne 0$

(49) $\displaystyle \int \ln ( x^2 + a^2 )\hspace{.5ex} {dx} = x \ln (x^2 + a^2 ) +2a\tan^{-1} \frac{x}{a} - 2x$

(50) $\displaystyle \int \ln ( x^2 - a^2 )\hspace{.5ex} {dx} = x \ln (x^2 - a^2 ) +a\ln \frac{x+a}{x-a} - 2x$

(51) $\displaystyle \int \ln \left ( ax^2 + bx + c\right) dx = \frac{1}{a}\sqrt{4ac... ...sqrt{4ac-b^2}} -2x + \left( \frac{b}{2a}+x \right )\ln \left (ax^2+bx+c \right)$

(52) $\displaystyle \int x \ln (ax + b) dx = \frac{bx}{2a}-\frac{1}{4}x^2 +\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{b^2}{a^2}\right)\ln (ax+b)$

(53) $\displaystyle \int x \ln \left ( a^2 - b^2 x^2 \right ) dx = -\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{2}\left( x^2 - \frac{a^2}{b^2} \right ) \ln \left (a^2 -b^2 x^2 \right)$

(54) $\displaystyle \int (\ln x)^2 dx = 2x - 2x \ln x + x (\ln x)^2$

(55) $\displaystyle \int (\ln x)^3 dx = -6 x+x (\ln x)^3-3 x (\ln x)^2+6 x \ln x$

(56) $\displaystyle \int x (\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{4}+\frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2-\frac{1}{2} x^2 \ln x$

(57) $\displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 dx = \frac{2 x^3}{27}+\frac{1}{3} x^3 (\ln x)^2-\frac{2}{9} x^3 \ln x$

Integrals with Exponentials

(58) $\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax}$

(59) $\displaystyle \int \sqrt{x} e^{ax} dx = \frac{1}{a}\sqrt{x}e^{ax} +\frac{i\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$ erf$\displaystyle \left(i\sqrt{ax}\right),$ where erf$\displaystyle (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt$

(60) $\displaystyle \int x e^x dx = (x-1) e^x$

(61) $\displaystyle \int x e^{ax} dx = \left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right) e^{ax}$

(62) $\displaystyle \int x^2 e^{x} dx = \left(x^2 - 2x + 2\right) e^{x}$

(63) $\displaystyle \int x^2 e^{ax} dx = \left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right) e^{ax}$

(64) $\displaystyle \int x^3 e^{x} dx = \left(x^3-3x^2 + 6x - 6\right) e^{x}$

(65) $\displaystyle \int x^n e^{ax} dx = \dfrac{x^n e^{ax}}{a} - \dfrac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}$ d$\displaystyle x$

(66) $\displaystyle \int x^n e^{ax} dx = \frac{(-1)^n}{a^{n+1}}\Gamma[1+n,-ax],$ where $\displaystyle \Gamma(a,x)=\int_x^{\infty} t^{a-1}e^{-t}$ d$\displaystyle t$

(67) $\displaystyle \int e^{ax^2} dx = -\frac{i\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$erf$\displaystyle \left(ix\sqrt{a}\right)$

(68) $\displaystyle \int e^{-ax^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$erf$\displaystyle \left(x\sqrt{a}\right)$

(69) $\displaystyle \int x e^{-ax^2} {dx} = -\dfrac{1}{2a}e^{-ax^2}$

(70) $\displaystyle \int x^2 e^{-ax^2} {dx} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^3}}$erf$\displaystyle (x\sqrt{a}) -\dfrac{x}{2a}e^{-ax^2}$

Integrals with Trigonometric Functions

(71) $\displaystyle \int \sin ax dx = -\frac{1}{a} \cos ax$

(72) $\displaystyle \int \sin^2 ax dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2ax} {4a}$

(73) $\displaystyle \int \sin^3 ax dx = -\frac{3 \cos ax}{4a} + \frac{\cos 3ax} {12a}$

(74) $\displaystyle \int \sin^n ax dx = -\frac{1}{a}{\cos ax} \hspace{2mm}{_2F_1}\left[ \frac{1}{2}, \frac{1-n}{2}, \frac{3}{2}, \cos^2 ax \right]$

(75) $\displaystyle \int \cos ax dx= \frac{1}{a} \sin ax$

(76) $\displaystyle \int \cos^2 ax dx = \frac{x}{2}+\frac{ \sin 2ax}{4a}$

(77) $\displaystyle \int \cos^3 ax dx = \frac{3 \sin ax}{4a}+\frac{ \sin 3ax}{12a}$

(78) $\displaystyle \int \cos^p ax dx = -\frac{1}{a(1+p)}{\cos^{1+p} ax} \times {_2F_1}\left[ \frac{1+p}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3+p}{2}, \cos^2 ax \right]$

(79) $\displaystyle \int \cos x \sin x dx = \frac{1}{2}\sin^2 x + c_1 = -\frac{1}{2} \cos^2x + c_2 = -\frac{1}{4} \cos 2x + c_3$

(80) $\displaystyle \int \cos ax \sin bx dx = \frac{\cos[(a-b) x]}{2(a-b)} - \frac{\cos[(a+b)x]}{2(a+b)} , a\ne b$

(81) $\displaystyle \int \sin^2 ax \cos bx dx = -\frac{\sin[(2a-b)x]}{4(2a-b)} + \frac{\sin bx}{2b} - \frac{\sin[(2a+b)x]}{4(2a+b)}$

(82) $\displaystyle \int \sin^2 x \cos x dx = \frac{1}{3} \sin^3 x$

(83) $\displaystyle \int \cos^2 ax \sin bx dx = \frac{\cos[(2a-b)x]}{4(2a-b)} - \frac{\cos bx}{2b} - \frac{\cos[(2a+b)x]}{4(2a+b)}$

(84) $\displaystyle \int \cos^2 ax \sin ax dx = -\frac{1}{3a}\cos^3{ax}$

(85) $\displaystyle \int \sin^2 ax \cos^2 bx dx = \frac{x}{4} -\frac{\sin 2ax}{8a}- \frac{\sin[2(a-b)x]}{16(a-b)} +\frac{\sin 2bx}{8b}- \frac{\sin[2(a+b)x]}{16(a+b)}$

(86) $\displaystyle \int \sin^2 ax \cos^2 ax dx = \frac{x}{8}-\frac{\sin 4ax}{32a}$

(87) $\displaystyle \int \tan ax dx = -\frac{1}{a} \ln \cos ax$

(88) $\displaystyle \int \tan^2 ax dx = -x + \frac{1}{a} \tan ax$

(89) $\displaystyle \int \tan^n ax dx = \frac{\tan^{n+1} ax }{a(1+n)} \times {_2}F_1\left( \frac{n+1}{2}, 1, \frac{n+3}{2}, -\tan^2 ax \right)$

(90) $\displaystyle \int \tan^3 ax dx = \frac{1}{a} \ln \cos ax + \frac{1}{2a}\sec^2 ax$

(91) $\displaystyle \int \sec x dx = \ln \vert \sec x + \tan x \vert = 2 \tanh^{-1} \left (\tan \frac{x}{2} \right)$

(92) $\displaystyle \int \sec^2 ax dx = \frac{1}{a} \tan ax$

(93) $\displaystyle \int \sec^3 x {dx} = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln \vert \sec x + \tan x \vert$

(94) $\displaystyle \int \sec x \tan x dx = \sec x$

(95) $\displaystyle \int \sec^2 x \tan x dx = \frac{1}{2} \sec^2 x$

(96) $\displaystyle \int \sec^n x \tan x dx = \frac{1}{n} \sec^n x , n\ne 0$

(97) $\displaystyle \int \csc x dx = \ln \left \vert \tan \frac{x}{2} \right\vert = \ln \vert \csc x - \cot x\vert + C$

(98) $\displaystyle \int \csc^2 ax dx = -\frac{1}{a} \cot ax$

(99) $\displaystyle \int \csc^3 x dx = -\frac{1}{2}\cot x \csc x + \frac{1}{2} \ln \vert \csc x - \cot x \vert$

(100) $\displaystyle \int \csc^nx \cot x dx = -\frac{1}{n}\csc^n x, n\ne 0$

(101) $\displaystyle \int \sec x \csc x dx = \ln \vert \tan x \vert$

Products of Trigonometric Functions and Monomials

(102) $\displaystyle \int x \cos x dx = \cos x + x \sin x$

(103) $\displaystyle \int x \cos ax dx = \frac{1}{a^2} \cos ax + \frac{x}{a} \sin ax$

(104) $\displaystyle \int x^2 \cos x dx = 2 x \cos x + \left ( x^2 - 2 \right ) \sin x$

(105) $\displaystyle \int x^2 \cos ax dx = \frac{2 x \cos ax }{a^2} + \frac{ a^2 x^2 - 2 }{a^3} \sin ax$

(106) $\displaystyle \int x^n \cos x dx = -\frac{1}{2}(i)^{n+1}\left [ \Gamma(n+1, -ix) + (-1)^n \Gamma(n+1, ix)\right]$

(107) $\displaystyle \int x^n \cos ax dx = \frac{1}{2}(ia)^{1-n}\left [ (-1)^n \Gamma(n+1, -iax) -\Gamma(n+1, ixa)\right]$

(108) $\displaystyle \int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x$

(109) $\displaystyle \int x \sin ax dx = -\frac{x \cos ax}{a} + \frac{\sin ax}{a^2}$

(110) $\displaystyle \int x^2 \sin x dx = \left(2-x^2\right) \cos x + 2 x \sin x$

(111) $\displaystyle \int x^2 \sin ax dx =\frac{2-a^2x^2}{a^3}\cos ax +\frac{ 2 x \sin ax}{a^2}$

(112) $\displaystyle \int x^n \sin x dx = -\frac{1}{2}(i)^n\left[ \Gamma(n+1, -ix) - (-1)^n\Gamma(n+1, -ix)\right]$

(113) $\displaystyle \int x \cos^2 x dx = \frac{x^2}{4}+\frac{1}{8}\cos 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x$

(114) $\displaystyle \int x \sin^2 x dx = \frac{x^2}{4}-\frac{1}{8}\cos 2x - \frac{1}{4} x \sin 2x$

(115) $\displaystyle \int x \tan^2 x dx = -\frac{x^2}{2} + \ln \cos x + x \tan x$

(116) $\displaystyle \int x \sec^2 x dx = \ln \cos x + x \tan x$

Products of Trigonometric Functions and Exponentials

(117) $\displaystyle \int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x)$

(118) $\displaystyle \int e^{bx} \sin ax dx = \frac{1}{a^2+b^2}e^{bx} (b\sin ax - a\cos ax)$

(119) $\displaystyle \int e^x \cos x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x + \cos x)$

(120) $\displaystyle \int e^{bx} \cos ax dx = \frac{1}{a^2 + b^2} e^{bx} ( a \sin ax + b \cos ax )$

(121) $\displaystyle \int x e^x \sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\cos x - x \cos x + x \sin x)$

(122) $\displaystyle \int x e^x \cos x dx = \frac{1}{2}e^x (x \cos x - \sin x + x \sin x)$

Integrals of Hyperbolic Functions

(123) $\displaystyle \int \cosh ax dx =\frac{1}{a} \sinh ax$

(124) $\displaystyle \int e^{ax} \cosh bx dx = \begin{cases}\displaystyle{\frac{e^{a... ...& a\ne b \displaystyle{\frac{e^{2ax}}{4a} + \frac{x}{2}} & a = b \end{cases}$

(125) $\displaystyle \int \sinh ax dx = \frac{1}{a} \cosh ax$

(126) $\displaystyle \int e^{ax} \sinh bx dx = \begin{cases}\displaystyle{\frac{e^{a... ...& a\ne b \displaystyle{\frac{e^{2ax}}{4a} - \frac{x}{2}} & a = b \end{cases}$

(127) $\displaystyle \int \tanh ax\hspace{1.5pt} dx =\frac{1}{a} \ln \cosh ax$

(128) $\displaystyle \int e^{ax} \tanh bx dx = \begin{cases}\displaystyle{ \frac{ e^{... ...ne b \displaystyle{\frac{e^{ax}-2\tan^{-1}[e^{ax}]}{a} } & a = b \end{cases}$

(129) $\displaystyle \int \cos ax \cosh bx dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \left[ a \sin ax \cosh bx + b \cos ax \sinh bx \right]$

(130) $\displaystyle \int \cos ax \sinh bx dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \left[ b \cos ax \cosh bx + a \sin ax \sinh bx \right]$

(131) $\displaystyle \int \sin ax \cosh bx dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \left[ -a \cos ax \cosh bx + b \sin ax \sinh bx \right]$

(132) $\displaystyle \int \sin ax \sinh bx dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \left[ b \cosh bx \sin ax - a \cos ax \sinh bx \right]$

(133) $\displaystyle \int \sinh ax \cosh ax dx= \frac{1}{4a}\left[ -2ax + \sinh 2ax \right]$

(134) $\displaystyle \int \sinh ax \cosh bx dx = \frac{1}{b^2-a^2}\left[ b \cosh bx \sinh ax - a \cosh ax \sinh bx \right]$
برچسب‌ها: انتگرال
+ نوشته شده در جمعه ۳۰ فروردین ۱۳۹۲ ساعت 16:58 توسط abbaskhademi  | 

تصاعد حسابی


انواع دنباله ها (تصاعد)


همانطور که می‌دانیم اصطلاح "سری" را برای کمیت‌هایی که با ضابطه معینی مرتب شده‌اند بکار می‌بریم. هر یک از این کمیت‌ها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته می‌شود جمله عمومی می‌نامیم.

تعریف

اگر جمله عمومی یک سری بصورت باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را تصاعد حسابی می‌نامیم. از تعریف بدست می‌آید:




پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی می‌نامند. همچنین به ازای n=1 ، . پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جمله‌های دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست می‌آید.

بقیه در ادامه

مجموع n جمله اول تصاعد حسابی

فرض می‌کنیم که جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی . می خواهیم را که با نشان داده می‌شود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری می‌سازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:




مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ،


معمولا جمله nام ، یعنی را با l نشان می‌دهیم. پس

ویژگی‌ها

  • اگر عددی را به همه جمله‌های یک تصاعد حسابی اضافه کنیم یا از آنها کم کنیم یک تصاعد حسابی دیگر با همان تفاضل مشترک بدست می‌آید.
  • اگر همه جمله‌های یک تصاعد حسابی در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند یک تصاعد حسابی دیگر با تفاضل مشترک متفاوت بدست می‌آیند.

برای اثبات این ویژگی‌ها ، جمله nام تصاعد حسابی اولیه را و جمله nام سری حاصل از اضافه کردن b به هر جمله را با و جمله nام سری حاصل از ضرب هر جمله در k را با نشان می‌دهیم. بنابراین با تشکیل داریم: سری یک تصاعدحسابی با جمله اول a+b و تفاضل مشترک d است همچنین یک تصاعد حسابی با جمله اول و تفاضل مشترک است.

  • جمله nام هر تصاعد حسابی را می‌توان به شکل نوشت. چون a-d و d مقدارهای ثابت‌اند. جمله nام را می‌توان به شکل A+nB نوشت که عبارتی خطی از n است. برعکس ، اگر جمله nام یک سری عبارتی خطی از n باشد. آن سری یک تصاعد حسابی است زیرا اگر جمله nام یک سری باشد داریم: . پس این سری یک تصاعد حسابی با جمله اول A+B و تفاضل مشترک B است.
  • مجموع n جمله اول یک تصاعد حسابی ، یعنی را می‌توان به شکل نوشت. که عبارتی درجه دوم از n است. پس مجموع n جمله اول هر تصاعد حسابی را می‌توان بشکل نوشت که B , A عددهای ثابت و مستقل از n هستند. برعکس ، اگر مجموع n جمله اول یک سری به شکل یعنی عبارتی درجه دوم از n بدون جمله ثابت باشد، آن سری یک تصاعد حسابی است.

مقدارهای منفی n

ممکن است جمله‌های یک تصاعد حسابی از سوی دیگر نیز ادامه داشته باشد و جمله‌های قبل از a قرار گیرند یعنی تصاعد حسابی بصورت زیر است:



جمله‌های سمت چپ a با قرار دادن مقدارهای 0 و 1- و 2- و ... بجای n در بدست آمده‌اند برای بدست‌ آوردن عده جمله‌هایی که مجموع آنها برابر مقدار معلوم S است باید معادله را حل کنیم. این معادله برحسب n از درجه دوم است و ممکن است یک یا هر دو ریشه آن منفی باشد. اگر مقداری منفی از کمیت n باشد که در این معادله صدق کند داریم:




یعنی اگر از حل معادله مقداری صحیح ولی منفی برای n بدست آوریم و جمله قبل از a را ، که با a-d شروع می‌شوند در نظر گیریم مجموع -S را بدست می‌آوریم.

واسطه حسابی

تعریف

واسطه حسابی n کمیت برابر است با مجموع همه آنها بخش‌بر n. بنابراین اگر کمیت‌های مورد نظر باشند واسطه حسابی آنها برابر است با . واسطه حسابی دو کمیت b , a که آنها را c می‌نامیم، است. بنابراین ، a و c و b یک تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند زیرا اگر داریم:



همیشه می‌توانیم بین هر دو کمیت b , a هر عده کمیت دیگر بگنجانیم بطوری که سری بدست آمده تصاعد حسابی باشد. جمله‌هایی را که به این ترتیب بین b , a گنجانده می‌شوند واسطه‌های حسابی می‌نامیم. اگر n جمله بین b , a بگنجانیم یک سری با n+2 جمله بدست می‌آید که جمله اول آن a و جمله آخرش b است. بنابراین . یعنی در نتیجه تصاعدهای حسابی بدست آمده چنین است:

تصاعد هندسی

به دنباله‌ای که رابطه بازگشتی آن باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته می‌شود.
را قدرنسبت تصاعد هندسی می‌نامیم.
اگر و باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر و دنباله اکیداً نزولی خواهد بود.
رابطه صریح دنباله هم به صورت می‌باشد که واضح نیز به نظر می‌رسد.
مسأله‌ای که در تصاعد هندسی قابل تأمل می‌باشد مجموع جملات آن است.
اگر را مجموع جملات تا تعریف کنیم:
آنگاه دنباله‌ای با رابطه بازگشتی زیر خواهد بود:
اما مقدار صریح نیز به سادگی قابل محاسبه می‌باشد که داریم:

مثال

اگر مجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول و قدرنسبت و مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی قدرنسبت باشد. رابطه و را بدست آورید؟
حل .

برچسب‌ها: دنباله
+ نوشته شده در جمعه ۳۰ فروردین ۱۳۹۲ ساعت 16:50 توسط abbaskhademi  | 

انتگرال



انتگرال نامعین

اگر پاد مشتق باشد ، آنگاه به ازای هر مقدار ثابت یک پاد مشتق است.زیرا اگر آنگاه:



نکته


اگر جوابی برای باشد ، فرمول همه جوابها را به دست می‌دهد.

انتگرال نامعین


مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون را انتگرال نامعین نسبت به می‌نامند و با نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول همه پادمشتق‌های را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :


تابع را انتگرال ده انتگرال و را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری است.

خواص انتگرال


  1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر برابر است با به علاوه یک ثابت دلخواه.
  2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
  3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری




,


,


,


,






در این دستور‌ها یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر آنگاه

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری


در حل یک معادله دیفرانسیل مانند معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون از دامنه را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن و در معادله و حل آن نسبت به جوابی را یافت که از نقطه بگذرد.به این ترتیب داریم یا .
خم خمی است که از می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر


در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای تابع پیوسته و مشتق پذیر را قرار می دهیم، یعنی :


بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای نسبت به قرار می‌دهیم . یعنی:
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:


انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء


دستور موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن توابعی مشتق‌پذیر از هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را فرض می‌کنند.

دید کلی

برای آنکه بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.

مفهوم انتگرال معین


اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y=داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.

انتگرال معین


نخست به تعریف مساحت ناحیه محصور بین نمودار یک تابع پیوسته نامنفی مانند و بازه ای از محور مانند می پردازیم.
برای این منظور تا آنجا که می توانیم (طبق شکل 1) بخش هرچه بیشتری از این ناحیه را با مستطیل های محاطی قائم پر می کنیم. مجموع مساحت های مستطیل ها تقریبی است از مساحت ناحیه.هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر باشد، تقریب بهتری به دست می آید. بنا به تعریف، مساحت این ناحیه، حد مجموع مساحت های مستطیل هاست وقتی که مستطیل ها کوچک و کوچک تر شوند و تعداد آنها به سوی بی نهایت میل کند.

img/daneshnameh_up/8/8e/ANTEGRAL_MOAYAN1.JPG


حال اگر به جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی (مطابق شکل 2) و یا هر نوع دیگری از مستطیل ها که قاعده پایین آن ها بر محور ها منطبق و قاعده بالای آن ها خم را قطع کنند به کار ببریم، دقیقا" همان حد به دست می آید.
این نکته نیز شایان ذکر است که حد مجموع مساحت های این مستطیل ها نه تنها برای توابع پیوسته نا منفی – که بحثمان را با آن ها آغاز کردیم – بلکه برای هر تابع پیوسته ای وجود دارد.

img/daneshnameh_up/c/ca/ANTEGRAL_MOAYAN2.JPG


مجموع انتگرال بالا – مجموع انتگرال پایین


تابع را در نظر می گیریم که در فاصله تعریف شده است. عبارت


را مجموع انتگرال این تابع گویند که در آن :



مجموع را مجموع (انتگرال) بالا و را مجموع (انتگرال) پایین نامند که در آن :



تابع انتگرال پذیر


حد مجموع انتگرال وقتی را انتگرال معین تابع در فاصله گویند.
اگر این حد موجود باشد، تابع را در فاصله انتگرال پذیر گویند.
(نکته : هر تابع پیوسته انتگرال پذیر است.)

محاسبه انتگرال معین با استفاده از دستور نیوتن-لایپنیتز


دستور زیر معروف به دستور نیوتن-لایپنیتز است :


که در آن یک تابع اولیه تابع می باشد یعنی :



مزایای فرمول نیوتن- لایبنیتز


فرمول نیوتن- لابینیتز هنگامیکه یک تابع اولی تابع انتگرال (تابع زیر علامت انتگرال) معلوم باشد یک روش مناسب و عملی برای محاسبه انتگرالهای معین به دست می‌دهند. در حقیقت انتگرال معین فقط زمانی اهمیت کنونی خود را در ریاضیات کسب کرد که این فرمول توسط نیوتن- لایبنیتز کشف شد. اگر چه پیشینیان (ارشمیدس) از یک عمل مشابه‌ای برای محاسبه انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال آگاه بودند، کاربردهای این روش منحصر بود به حالتهای بسیار ساده‌ای که حد مجموع انتگرال می‌توانست مستقیما محاسبه شود. فرمول نیوتن- لایبنیتز دامنه کاربردهای انتگرال معین را تا حد زیاد گسترش داد، زیرا ریاضیات یک روش عمومی برای حل مسائل گوناگون خاصی بدست آورد، و بنابراین توانست بطور قابل ملاحظه‌ای حدود کاربردهای انتگرال معین را در صنعت ، مکانیک ، نجوم و غیره توسعه دهد.

تخمین یک انتگرال معین


1. اگر در فاصله داشته باشیم آنگاه :


و بویژه :


2. اگر کوچکترین و بزرگترین مقدار تابع در فاصله باشد، آنگاه :

برچسب‌ها: انتگرال
+ نوشته شده در جمعه ۳۰ فروردین ۱۳۹۲ ساعت 16:48 توسط abbaskhademi  | 

Basic Definitions

It is an amazing fact that by adjoining the imaginary unit i to the real numbers we obtain a complete number field called `` The Complex Numbers." In this amazing number field every algebraic equation in z with complex coefficients

displaymath149

has a solution. To prove this fact we need Liouville's Theorem, but to get started using complex numbers all we need are the following basic rules.

Rules of Complex Arithmetic

  1. displaymath151

  2. Every complex number has the ``Standard Form''

    displaymath153

    for some real a and b.

  3. For real a and b,

    displaymath163

  4. displaymath165

  5. displaymath167

Click on EXERCISES for some practice using these rules.

Division

Notice that rules 4 and 5 state that we can't get out of the complex numbers by adding (or subtracting) or multiplying two complex numbers together. What about dividing one complex number by another? Is the result another complex number? Let's ask the question in another way. If you are given four real numbers a,b,c and d, can you find two other real numbers x and y so that

displaymath177

As an exercise in using rules 1 through 5, multiply both sides of the above equation by c + di and then solve for x and y to prove that the answer to our question is yes.( Click on help for a solution.)

OK, so we can divide by c + di if c and d are not both zero. But there is a much easier way to do division.

Notice that

displaymath191

We say that c+di and c-di are complex conjugates. To simplify a complex fraction, multiply the numerator and the denominator by the complex conjugate of the denominator.

Examples of division

eqnarray17

eqnarray29

eqnarray41

Real and Imaginary Parts

If z= a+bi is a complex number and a and b are real, we say that a is the real part of z and that b is the imaginary part of z and we write

displaymath211

Exercise:

Find tex2html_wrap_inline213 and tex2html_wrap_inline215 . (Solution)

Complex Conjugates

If z=a +bi is a complex number with real part a and imaginary part b, then we denote the complex conjugate of z by tex2html_wrap_inline229 .

Exercise:

Write tex2html_wrap_inline231 in standard form.

(Solution)

Exercise:

Prove that tex2html_wrap_inline261 for any pair of complex numbers and similarly tex2html_wrap_inline263 .

(Proof.)

Exercise:

Prove that tex2html_wrap_inline287 for any integer n.

(Proof.)

Modulus of a Complex Number

The magnitude or modulus of a complex number z is denoted |z| and defined as

displaymath239

Notice that tex2html_wrap_inline241 . (proof.)

Exercise:

Prove that tex2html_wrap_inline243 . (Solution)

برچسب‌ها: complex
+ نوشته شده در جمعه ۳۰ فروردین ۱۳۹۲ ساعت 16:30 توسط abbaskhademi  | 

The Polar Form of a Complex Number

The unit circle

The fundamental trigonometric identity (i.e the Pythagorean theorem) is

displaymath7

From this we can see that the complex numbers

displaymath9

are points on the circle of radius one centered at the origin.

Think of the point tex2html_wrap_inline11 moving counterclockwise around the circle as the real number tex2html_wrap_inline13 moves from left to right. Similarly, the point moves clockwise if tex2html_wrap_inline13 decreases. And whether tex2html_wrap_inline13 increases or decreases, the point returns to the same position on the circle whenever tex2html_wrap_inline13 changes by tex2html_wrap_inline21 or by tex2html_wrap_inline23 or by tex2html_wrap_inline25 where k is any integer.

Exercise: Verify that

displaymath29

Exercise: Prove de Moivre's formula

displaymath12

Now picture a fixed complex number on the unit circle

displaymath14

Consider multiples of z by a real, positive number r.

displaymath20

As r grows from 1, our point moves out along the ray whose tail is at the origin and which passes through the point z. As r shrinks from 1 toward zero, our point moves inward along the same ray toward the origin. The modulus of the point is r. We call the angle tex2html_wrap_inline32 which this ray makes with the x-axis, the argument of the number z. All the numbers rz have the same argument. We write

displaymath38

Just as a point in the plane is completely determined by its polar coordinates tex2html_wrap_inline40 , a complex number is completely determined by its modulus and its argument.

Notice that the argument is not defined when r=0 and in any case is only determined up to an integer multiple of tex2html_wrap_inline44 .

Why not just use polar coordinates? What's new about this way of thinking about points in the plane?

We now have a geometric interpretation of multiplication!

برچسب‌ها: complex
+ نوشته شده در جمعه ۳۰ فروردین ۱۳۹۲ ساعت 16:28 توسط abbaskhademi  |